| hlavní stránka | obsah | učebnice | mapa webu | o autorech | rejstřík |
1.7.1 Konstrukce reciproké mřížky
1.7.2 Vztahy v reciproké mřížce
Abstraktní trojrozměrná konstrukce reciproké mřížky se zavádí pro zjednodušení interpretace některých difrakčních experimentů. Řada výpočtů je také snazší v reciprokém prostoru, než v prostoru přímém.
Při konstrukci reciproké mřížky vedeme ze zvoleného počátku kolmici ke každé osnově rovin (hkl) a na každou z nich naneseme vzdálenost 1/dhkl. Získané body vytvoří reciprokou mřížku, jejíž uzly odpovídají rovinám přímé mřížky (obrázek 17-1). Každý bod reciproké mříže reprezentuje vlastnosti konkrétní osnovy rovin, tj. orientaci a mezirovinné vzdálenosti. Veličiny reciproké mřížky označujeme hvězdičkou: vektory základní buňky a*, b*, c* a mřížkové parametry a*, b*, c*, a*, b*, g*.
Na
základě definic skalárního součinu vektorů a vektorového součinu vektorů
můžeme vyvodit některé vztahy. Jelikož vektor a*
je kolmý k vektorům c a b, vektor b* kolmý k vektorům
a a c (atd.) platí:
ab*
= ac*
= ba*
= bc*
= ca*
= cb*
= 0
a* = b x c, b* = c x a, c* = a x b
Z konstrukce
reciproké mřížky dále vyplývá, že velikost reciprokého vektoru je dána
vztahy:
|a*| = a*
= 1 / d100; b*
= 1 / d010; c*
= 1 / d001.
Pro
skalární součin stejného vektoru reciproké a přímé mřížky platí
vztah : a*a=a*a cos y,
kde y je úhel
mezi vektory a* a a.
Lze odvodit , že platí:
aa*
= bb*
= cc*
= 1
Protože
vektor a*
je kolmý k vektorům b, c platí, že a* =
b ´
c. Po dosazení do podmínky aa*
= 1 dostaneme výraz vyplývající i z definice pro smíšený součin
vektorů:
V
(objem buňky přímé mřížky) = a(b ´
c).
Chceme-li
vyjádřit reciproký vektor pomocí vektorů přímé mřížky, vyjdeme z toho,
že objem primitivní buňky lze vyjádřit také jako V = |b
´
c|d100.
Po dosazení za d100
můžeme psát: a*=
|b
´
c|
/ V = b ´ c / a(b ´
c).
Analogicky
b*
= c ´
a / b(c ´
a);
c*
= a ´
b / c(a ´
b).
Pro
velikost základních reciprokých vektorů tedy platí:
a*
= bc sin a / V
b*
= ca sin b / V
c*
= ab sin g / V
Toto
vyjádření je obecné - platí tedy i pro triklinickou symetrii. Pro ostatní
soustavy je tato forma příslušným způsobem redukována.