| hlavní stránka | obsah | učebnice | mapa webu | o autorech | rejstřík |
1.3.1.2 Uzavřené operace symetrie
1.3.1.3 Otevřené operace symetrie
1.3.2.1 Jednoduché prvky symetrie
1.3.2.2 Kombinované prvky symetrie
Krystalické látky mají ve své struktuře periodické uspořádání stavebních jednotek a toto pravidelné uspořádání lze definovat pomocí zákonitostí symetrie. Symetrické uspořádání struktury se projevuje nejen na vnějším krystalovém tvaru, ale i na fyzikálních vlastnostech krystalické látky (minerálu).
Stavební jednotky v krystalické látce jsou v prostoru rozmístěny na základě určité transformace. Transformací rozumíme předpis (definici), podle kterého libovolnému bodu geometrického útvaru A přiřadíme bod na geometrickém útvaru A´. Jde o analogii s pojmem funkce v algebře.
Z lineárních transformací se v krystalografii uplatňují pouze transformace izometrické, tj. takové, kde nedochází ke změně vzdálenosti mezi dvěma body před a po transformaci. Postačující podmínkou je, aby transformační matice byla ortogonální.
Operace symetrie je geometrická transformace, která zachovává vzájemné vzdálenosti v tělese a po jejím provedení nerozlišíme, zda byla s tělesem nějaká transformace provedena. Rozlišujeme tyto základní operace symetrie: inverze, zrcadlení, rotace a translace.
Operace symetrie můžeme rozdělit na uzavřené, které neobsahují
translaci a otevřené, ve kterých je nutná přítomnost translace.
Mějme dvě trojice nekomplanárních mřížkových vektorů a1, b1, c1 a a2, b2, c2. Mezi těmito trojicemi platí následující vztahy:
a2 = s11a1
+ s12b1 + s13c1
b2 = s21a1 + s22b1
+ s23c1
c2 = s31a1 + s32b1
+ s33c1
a1 = t11a2
+ t12b2 + t13c2
b1 = t21a2 + t22b2
+ t23c2
c1 = t31a2 + t32b2
+ t33c2
Závislosti lze vyjádřit
i pomocí matic, viz obrázek 13-1. Obě matice
3x3 můžeme označit jako matici S a matici T a označujeme
je jako transformační matice (definují předpis
transformace). Matice T je inverzní
k matici S, tedy platí T = S-1.
Krystalografické transformace můžeme chápat jako změnu polohy bodu o souřadnicích x, y, z pomocí operace symetrie do nové polohy x´, y´, z´ v rámci jedné ortogonální souřadné soustavy, nebo jako transformaci souřadné soustavy os x, y, z na souřadné osy x´, y´, z´.
Mezi uzavřené operace symetrie počítáme všechny transformace, na kterých se neúčastní translace. Můžeme je také definovat jako operace symetrie, při jejichž opakovaném provádění se transformovaný tvaru dostává zpět do původné polohy. Úplná množina operací symetrie se označuje jako grupa operací.
Inverze (I)
je základní operací symetrie, při které se bod
o souřadnicích (x, y, z) transformuje na bod se souřadnicemi (x´, y´, z´)
tak, že platí:
x´
= -x
y´ = -y
z´ = -z
Maticové vyjádření inverze je na obrázku 13-2.
Zrcadlení
(M) je základní operace symetrie definovaná obvykle symbolem M(o1, o2), kde o1
a o2 jsou osy určující rovinu zrcadlení, např. M (x, y). Bod o souřadnicích
(x, y, z) se zrcadlením transformuje na bod se souřadnicemi (x´, y´, z´)
tak, že platí (rovina zrcadlení x, y):
x´
= x
y´ = y
z´ = -z
Maticové
vyjádření operace zrcadlení je na obrázku 13-3.
Rotace
(R) je základní operace symetrie definována obvykle symbolem R (a, o), kde a
je úhel otáčení a o je osa kolem níž se otáčí, např. R (p, z). Může
se rovněž značit Rn (o), kde n = 2p/a.
Při rotaci kolem vertikální osy z o úhel a
bude mít soustava transformačních
rovnic tento tvar:
x´ = x cos a + y sin a
y´ = -x sin a + y cos a
z´ = z
Maticové vyjádření rotace je na obrázku
13-4. Hodnoty v transformačních maticích se budou měnit v závislosti
na směru osy podle které otáčíme a velikosti úhlu rotace, viz příklad
rotace.
Rotační inverze je složená operace symetrie vzniklá kombinací
rotace s inverzí. Kombinuje se rotace o úhel a (podle
osy o) s inverzí. Vyjádřeno schematickým zápisem: Ri
(a,z) = R (a,z)
*
I, kde symbol * označuje skládání dvou operací symetrie (tzv. grupová
operace). Maticové vyjádření rotační inverze je na obrázku
13-5.
Rotační
zrcadlení je složená operace symetrie, která je kombinací rotace se
zrcadlením v rovině kolmé na osu rotace. Provádíme-li rotaci o úhel a
podle osy z, zrcadlíme podle roviny (x, y), vyjádřeno schematicky: Rm (a,
z) = R (a, z) *
M (x, y). Maticové vyjádření rotačního zrcadlení
je na obrázku 13-6.
Otevřené operace symetrie vždy obsahují translaci a aplikované na libovolný objekt netransformují tento nikdy do výchozí polohy.
Translace je základní operací symetrie, která posunuje objekt v prostoru do nekonečna a nikdy ho nevrací do výchozí polohy. Aplikujeme-li na bod o souřadnicích (x, y, z) translaci, vyjádřenou vektorem t (t1, t2, t3), pak pro transformovaný bod (x´, y´, z´) bude platit:
x´ = x + t1
y´ = y + t2
z´ = z + t3
Maticové vyjádření translace je na obrázku 13-7.
Šroubová operace je složená operace symetrie, která vzniká kombinací rotace a translace podél osy rotace. Translace t je vyjádřena zlomkem celkového stoupání šroubového pohybu. Jde-li např. o rotaci o p, pak je t = p/2p = 1/2 a výslednou operaci lze zapsat jako S (p, z, 1/2). Maticové vyjádření šroubové operace je na obrázku 13-8.
Skluzová operace je složená operace symetrie, která vzniká kombinací zrcadlení v definované rovině a translace podél této roviny. Velikost posunutí je vyjádřena zlomkem periody identity daného směru. Například G (x, y, x/2) je zrcadlení v rovině x, y a posunutí o 1/2 periody identity ve směru osy x, zatímco G (x, y, y/2) je zrcadlení v rovině x, y a posunutí o 1/2 periody identity ve směru osy y.
Prvek symetrie je geometrický prvek (bod, přímka, rovina), vůči němuž provádíme příslušnou operaci symetrie. Samotný prvek je invariantní vůči operaci symetrie. Přehled operací symetrie a jim příslušejících prvků symetrie je na obrázku 13-9.
Střed symetrie nebo střed inverze (i, -1,
Ci) je jednoduchým prvkem symetrie, podle kterého provádíme
operaci inverze. Operace symetrie
náležející tomuto prvku symetrie jsou:
I
I
*
I = E (identita)
Skládání operací symetrie (*) lze vyjádřit jako násobení matic příslušejících jednotlivým operacím symetrie, viz obrázek 13-10. Každá prostorová mřížka, která obsahuje střed symetrie, se označuje jako centrosymetrická. Střed inverze na krystalu způsobuje, že každá krystalová plocha má na opačné straně krystalu opačně orientovanou plochu symetrickou podle středu symetrie. Inverze podle středu symetrie je prezentována na obrázku 13-11.
Rovina symetrie (m, s) je jednoduchým prvkem symetrie, podle kterého provádíme operaci zrcadlení. Operace symetrie náležející tomuto prvku symetrie jsou:
M (o1, o2)
M (o1, o2) * M (o1, o2) = M2 (o1, o2) = E (identita)
Princip zrcadlení v rovině symetrie je znázorněn na obrázku 13-12.
Rotační
osy symetrie nebo osy rotace (n) jsou jednoduchými prvky symetrie, podle
kterých provádíme operaci rotace.
Osy se rozlišují podle velikosti
úhlu a
= 2p/n,
o který je nutné n-krát otočit tělesem (bodem) kolem osy, abychom se přes
nerozlišitelné ekvivalentní polohy vrátili zpět do výchozí pozice. Číslo
n je četnost osy rotace. Krystalografické rotační
osy symetrie mají pouze tyto četnosti: n = 1, 2, 3, 4, 6.
Rotační dvojčetná osa symetrie (2, C2) obsahuje tyto operace symetrie (osa se směrem z):
R
(p, z)
R
(p, z) *
R (p, z) = R2 (p, z) = E
Vyjádření transformačních matic rotace podle souřadných os o 180°
R (p, x), R (p,
y), R (p, z) je na obrázku 13-13, princip dvojčetné
rotační osy symetrie je na obrázku 13-14.
Rotační trojčetná osa symetrie (3, C3
) má n = 3 a a = 2p/3.
Trojčetná osa totožná se směrem
z obsahuje tyto operace symetrie:
R
(2p/3, z)
R
(2p/3, z) *
R (2p/3, z) = R2 (2p/3, z) = R (4p/3,
z)
R (2p/3, z) * R (2p/3, z) * R (2p/3, z) = R3 (2p/3, z) = E
Princip
trojčetné rotační osy symetrie je na obrázku
13-15.
Rotační
čtyřčetná osa symetrie (4, C4) má
n = 4, a = 2p/4
= p/2. Čtyřčetná osa totožná se směrem souřadné osy z obsahuje
tyto operace symetrie:
R
(p/2, z)
R
(p/2, z) *
R (p/2, z) = R2 (p/2, z) = R (p,
z)
R
(p/2, z) *
R (p/2, z) *
R (p/2, z) = R3 (p/2, z) = R (3p/2,
z)
R4 (p/2, z) = R (2p, z) = E
Princip
čtyřčetné rotační osy symetrie je na obrázku
13-16.
Rotační
šestičetná osa symetrie (6, C6) má
n = 6, a = 2p/6.
Šestičetná osa totožná se směrem souřadné osy z obsahuje
tyto operace symetrie:
R
(p/3, z)
R
(p/3, z) *
R (p/3, z) = R2 (p/3, z) = R (2p/3,
z)
R
(p/3, z) *
R (p/3, z) *
R (p/3, z) = R3 (p/3, z) = R (p,
z)
R4
(p/3,
z) = R (4p/3, z) = R2 (2p/3, z)
R5
(p/3,
z) = R (5p/3, z)
R6
(p/3,
z) = E
Princip šestičetné rotační osy symetrie je na obrázku 13-17.
Inverzní
(rotoinverzní) osy symetrie jsou složené prvky symetrie, jejichž
operacemi symetrie jsou rotace kolem osy kombinovaná s inverzí. Na pořadí
operací nezáleží, musí se však provádět jako celek. Inverzní osy
symetrie se rozlišují podle velikosti úhlu rotace a = 2p/n.
Označují se podobným symbolem jako rotační osy symetrie, ale s pruhem nad
číslicí (déle v textu jsou značeny znaménkem minus před symbolem osy).
Jednočetná
inverzní osa symetrie je kombinací rotace kolem osy o 360°a inverze, tedy výsledkem
je čistá inverze podle středu. Její označení -1 také odpovídá označení
pro střed symetrie.
Dvojčetná
inverzní osa symetrie (-2, C2i) zahrnuje rotaci o p v kombinaci s inverzí. Osa shodná se směrem souřadné osy z obsahuje
tyto operace symetrie:
R
(p, z) *
I = Ri (p, z)
[R
(p, z) *
I]2
= Ri2 (p, z) = E
Maticové vyjádření složené operace symetrie je na obrázku 13-18. Operace dvojčetné inverzní osy symetrie je totožná s operací roviny symetrie: {Ri (p, z) = M (x, y), Ri2 (p, z) = E}. Obě operace jsou tedy zaměnitelné (obrázek 13-19).
Trojčetná inverzní osa symetrie
(-3, C3i) je kombinací rotace o a = 2p/3
v kombinaci s inverzí podle středu symetrie. Inverzní osa shodná
se směrem souřadné osy z obsahuje kombinace těchto operací
symetrie: {R (2p/3, z), R2 (2p/3, z), E, I}. Operace provedené podle trojčetné inverzní osy
symetrie jsou stejné jako ty, které vzniknou kombinací dvou samostatných
prvků symetrie – trojčetné rotační osy symetrie a středu symetrie: -3 =
3 *
i (obrázek 13-20). Trojčetná inverzní osa je
tedy nahraditelným prvkem symetrie.
Čtyřčetná
inverzní osa symetrie (-4, C4i) je
kombinací rotace o a
= p/2 a inverze podle středu symetrie. Inverzní osa totožná se směrem z
obsahuje následujících operace symetrie:
Ri
(p/2,
z)
Ri2
(p/2,
z) = R (p, z)
Ri3
(p/2,
z)
E
Obsaženy jsou dvě operace Ri (p/2, z) a Ri3
(p/2,
z), které nemohou vzniknout kombinací žádných jiných prvků symetrie a
proto je čtyřčetná inverzní osa symetrie samostatným a nenahraditelným
prvkem symetrie (obrázek 13-21).
Šestičetná inverzní osa symetrie (-6, C6i)
je kombinací rotace o a = p/3
a inverze podle středu symetrie. Inverzní osa totožná se směrem souřadné
osy z obsahuje kombinace následujících prvků symetrie: {R (2p/3,
z), R2
(2p/3, z), E, M (x, y)}. Operace šestičetné inverzní osy symetrie jsou
stejné jako ty, které vzniknou kombinací dvou samostatných prvků symetrie
trojčetné rotační osy symetrie a roviny symetrie kolmé na tuto osu: -6 =
3*m (obrázek 13-22). Šestičetná inverzní osa
symetrie je proto nahraditelným prvkem symetrie.
Šroubové osy symetrie jsou složené prvky
symetrie, které se skládají z rotace o úhel a
= 360°/n a translace podél definovaného vektoru ve směru této osy. Osa musí
být rovnoběžná s libovolnou mřížkovou translací struktury. Na rozdíl
od rotačních a inverzních os symetrie, je směr rotace šroubové osy velmi důležitý.
Vychází se z pravotočivého systému os, takže pravotočivá šroubová
osa ve směru z má translační vektor ve stejném směru vzhůru
(tj. ve směru palce pravé ruky, kdy prsty naznačují rotační pohyb od osy x
k y).
Máme-li
n-četnou rotační osu symetrie, pak n otočení o a
= 360°/n doprovázených n translacemi t
podél šroubové osy, musí vést k translačnímu pohybu výchozího
objektu (atom, molekula) o celočíselný násobek (m) mřížové translace t:
n t = m t
nebo
t
= (m/n) t,
kde m, n jsou celá čísla. Obecně lze vyjádřit symbol šroubové osy jako nm.
Translační
složky šroubových os symetrie závisí na četnosti osy a mohou nabývat jen
určitých hodnot (hodnota v závorce označuje translační složku):
20,
21 (1/2),
22,
obrázek 13-23
30,
31 (1/3), 32 (2/3), 33,
obrázek 13-24
40,
41 (1/4),
42
(2/4), 43 (3/4),
44,
obrázek 13-25
60,
61 (1/6),
62
(2/6), 63 (3/6),
64
(4/6), 65 (5/6),
66,
obrázek 13-26.
Dolní index značí hodnotu m z výše uvedeného vztahu, je-li m = 0 jde o čistou rotaci, v případě, že je m = n, jde o čistou translaci.
Šroubové osy 31 – 32, 41 – 43, 61 – 65, 62 – 64 jsou navzájem enantiomorfní – můžeme rozlišit pravotočivou a levotočivou osu (mají stejné stoupání, ale opačný smysl šroubového pohybu). Za pravotočivou osu (31, 41, 61, 62) se považuje taková, jejíž otáčivý pohyb je ve směru prstů pravé ruky, kdy palec míří podél osy.
Skluzové roviny symetrie (roviny posunutého zrcadlení) jsou
prvky symetrie, jejichž operacemi je zrcadlení kombinované s translací
podél roviny zrcadlení (obrázek 13-27). Podle
směru a velikosti translace rozlišujeme skluzové roviny osové, diagonální
a diamantové. Symbolem a (a-skluz) označujeme skluzové roviny
orientované kolmo na osy y nebo z s translační složku t
= (1/2)a (obrázek 13-28). Symbolem b
(b-skluz) označujeme skluzové roviny orientované kolmo na osy x nebo z
s translační složku t
= (1/2)b (obrázek 13-28). Symbolem c
(c-skluz) označujeme skluzové roviny orientované kolmo na osy x nebo y
s translační složku t
= (1/2)c (obrázek 13-28). Úhlopříčné
skluzové roviny symetrie mají obecný symbol n. Jsou-li kolmé na osu x,
mají translační složku t
= ½(b + c), kolmé na osu y mají translační složku
t
= ½(a + c) a kolmé na osu z mají translační složku
t
= ½(a + b); vždy se jedná o polovinu stěnové úhlopříčky
plošně centrované buňky (obrázek 13-28).
Diamantové skluzové roviny symetrie se obecně značí symbolem d. Jsou-li
kolmé na osu x, je translační složka t
= 1/4(b±c), kolmé na osu y
mají translační složku t
= 1/4(a±c) a kolmé na osu z
mají translační složku t
= 1/4(a±b); vždy se jedná o čtvrtinu
stěnové úhlopříčky plošně centrované buňky (obrázek
13-28).
Analýzou
kombinací prvků symetrie a operací jim příslušejících, lze odvodit grupy
symetrie. Podle toho, které prvky symetrie zahrneme do analýzy, lze rozlišit
tři typy grup symetrie:
bodové
grupy
rovinné
grupy
prostorové
grupy
Bodová
grupa je množina prvků symetrie, jejichž operace ponechávají alespoň jeden
bod tělesa v prostoru nepohyblivý. Tomuto požadavku vyhovuje 8 (beztranslačních)
prvků symetrie: 1, 2, 3, 4, 6, -4, i, m. Tyto prvky a jejich možné kombinace
tvoří 32 krystalografických bodových grup (krystalografická oddělení, viz
kapitola
2.4.), jimiž lze charakterizovat symetrii vnějšího tvaru krystalů.
Podrobnější informace v kapitole
1.5.
Rovinná
grupa je množina prvků symetrie, jejichž operace jsou omezeny na transformace
v rovině x, y. Na rozdíl od bodových grup obsahuje množina zrcadlové přímky
m a skluzové přímky g s velikostí skluzu 1/2 periody identity. Skluzové
přímky mohou být osové (a, b) a neosové (gab).
Rovinné grupy zahrnují prvky symetrie:
1, 2, 3, 4, 6, m, g. Tyto
prvky symetrie a jejich možné kombinace tvoří 17 krystalografických rovinných
grup (obrázek 13-29).
Symboly rovinných grup jsou nejvýše čtyřčlenné a obsahují symboly prvků symetrie. Pořadí je následující:
První
člen – udává typ rovinné buňky (p = primitivní, c = centrovaná)
Druhý
člen – vertikální prvek symetrie
Třetí a čtvrtý člen – v kosoúhlé a pravoúhlé buňce je třetí prvek symetrie kolmý na x, čtvrtý prvek kolmý na y. Ve čtvercové a hexagonální buňce jsou na třetím a čtvrtém místě prvky symetrie ležící v osních a meziosních směrech.
Prostorová grupa je množina prvků symetrie, jejichž operace jsou realizovány v trojrozměrném prostoru. Jedná se o kombinaci všech možných transformací krystalové struktury, takže prostorová grupa charakterizuje souměrnost struktury krystalu asi tak, jako bodová grupa charakterizuje souměrnost vnějšího krystalového tvaru. Celkový počet 230 prostorových grup zahrnuje všechny kombinace translačních a beztranslačních prvků symetrie, které jsou přípustné v krystalografických transformacích. Prvky symetrie libovolné prostorové grupy mají v prostoru zcela určitou polohu a orientaci.
Bodovou grupu je možné odvodit z prostorové grupy odstraněním všech translací (skluzové roviny nahradit rovinami symetrie a šroubové osy zaměnit za rotační osy symetrie) a vzniklé makroskopické prvky převést do jednoho bodu beze změny orientace. Další informace o prostorových grupách jsou v kapitole 1.6.